dissertação
Teste da razão de verossimilhanças para a variância generalizada normal multivariada
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Universidade Federal de Lavras
Faculdade, Instituto ou Escola
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Departamento de Estatística
Programa de Pós-Graduação
Programa de Pós-Graduação em Estatística e Experimentação Agropecuária
Agência de fomento
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)
Tipo de impacto
Áreas Temáticas da Extenção
Objetivos de Desenvolvimento Sustentável
Dados abertos
Resumo
Uma medida interessante da variabilidade na população multivariada é o determinante da matriz
de covariâncias Sp p, jSj, de uma população, conhecida como variância generalizada. Esta,
é uma medida que resume a dispersão de uma população multivariada em um único valor,
considerando a dependência entre as variáveis envolvidas. Devido a isso, possui aplicações em
diversas áreas que almejam avaliar a dispersão existente em alguma população multivariada de
interesse. Nas indústrias, por exemplo, existem diversas situações nas quais o monitoramento
ou controle simultâneo de duas ou mais características relacionadas ao processo de qualidade
são necessárias. Por assim dizer, avaliar se o processo está, estatisticamente, sob controle,
consiste em analisar conjuntamente todas as variáveis relacionadas ao processo de qualidade,
considerando a dependência entre as mesmas, como também a sua variabilidade. Além da
indústria, o estudo da variabilidade multivariada através da variância generalizada está presente
em processamento de sinal, análise de agrupamento, delineamentos ótimos e muitos outros
campos. Deste modo, a construção de teste de hipóteses que avaliem a dispersão em populações
multivariadas se fazem necessárias dado o seu amplo campo de atuação. Este trabalho divide-se
em duas partes. A primeira, trata-se de uma revisão bibliográfica que engloba toda a teoria
necessária para compreender a construção de um teste de hipótese para a variância generalizada
da distribuição normal multivariada, que consiste na segunda parte e foi apresentada no formato
de artigo. O artigo trata da proposição de dois novos testes de hipóteses, um construído via razão
de verossimilhanças- o teste LRT- e o outro, também é construído via razão de verossimilhanças,
porém é acrescido da Correção de Bartlett para testes da razão de verossimilhanças, denominado
BCLRT. Tais testes de hipóteses são contruídos para testar a variância generalizada de uma
população normal multivariada. Para a avaliação da taxa de erro tipo I e do poder dos testes,
realizam-se simulações de Monte Carlo para diversos cenários em que são variados o tamanho
da amostra n, o número de variáveis p e o nível de significância a para os testes propostos e para
outros testes já existentes na literatura. Os desempenhos dos testes propostos nas avaliações
da taxa de erro do tipo I e poder nos levaram a recomendação da utilização do teste BCLRT
somente em cenários em que temos p = 2, sobretudo quando n > 30. Enquanto que para o teste
LRT, recomendamos sua utilização em situações em que p = 2 e p = 3 para n > 30 e para p = 5
quando n > 50.
Abstract
An interesting measure of variability in the multivariate population is the determinant of the
covariance matrix Sp p, jSj, of a population, known as generalized variance. This is a measure
that summarizes the dispersion of a multivariate population in a single value, considering the
dependence between the variables involved. Because of this, it has applications in several areas
that aim to evaluate the dispersion existing in some multivariate population of interest. In industries,
for example, there are several situations in which the simultaneous monitoring or control
of two or more characteristics related to the quality process is necessary. So to say, assessing
whether the process is, statistically, under control, consists of jointly analyzing all the variables
related to the quality process, considering the dependence between them, as well as their
variability. In addition to the industry, the study of multivariate variability through generalized
variance is present in signal processing, cluster analysis, optimal designs and many other fields.
In this way, the construction of hypothesis tests that evaluate the dispersion in multivariate populations
is necessary given its wide field of action. This work is divided into two parts. The
first is a bibliographic review that encompasses all the theory necessary to understand the construction
of a hypothesis test for the generalized variance of the multivariate normal distribution,
which consists of the second part and was presented in article format. The article deals with the
proposition of two new hypothesis tests, one built via the likelihood ratio - the LRT test - and
the other, it is also built via the likelihood ratio, however it is added Bartlett’s Correction for
likelihood ratio tests, called BCLRT. Such hypothesis tests are designed to test the generalized
variance of a normal multivariate population. For the evaluation of the type I error rate and the
power of the tests, Monte Carlo simulations are performed for different scenarios in which are
varied the sample size n, the number of variables p and the level of significance a for the proposed
tests and for other tests already in the literature. The performance of the tests proposed
in the evaluations of the type I error rate and power led us to recommend the use of the BCLRT
test only in scenarios where we have p = 2, especially when n > 30. While for the LRT test, we
recommend its use in situations where p = 2 and p = 3 for n > 30 and for p = 5 when n > 50.
Descrição
Área de concentração
Agência de desenvolvimento
Palavra chave
Marca
Objetivo
Procedência
Impacto da pesquisa
Resumen
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DOI
Citação
MELO, R. A. P. Teste da razão de verossimilhanças para a variância generalizada normal multivariada. 2020. 65 p. Dissertação (Mestrado em Estatística e Experimentação Agropecuária) – Universidade Federal de Lavras, Lavras, 2021.